自転車の後ろタイヤがパンクしたって英語でなんて言うの？

ご質問ありがとうございます。

"The rear tire of my bicycle burst"＝「自転車の後輪のタイヤがパンクしました」

（☆rear=後部）
（☆burst＝破裂する　これは不規則の動詞で過去形もburstです）

"so I am now getting/having it repaired."＝「なので、今修理してもらっています。」

追加："getting"の方が"having"より少しカジュアルなニュアンスがあります。

ご参考になると良いです！

I had a flat tire on the back/rear wheel of my bicycle, so I am getting it fixed.
（自転車の後輪がパンクして、今修理してもらってます。）

flat tireで自転車等のパンクを言い表せます。flatは「平らな、平たくなって」などと辞書に載っていますが、つまり空気が抜けてぺしゃんこになってしまった状態のことも言えます。
（ちなみに炭酸ドリンクで炭酸が抜けた状態もflatです。）

I was told it would be done within 1 hour, but it seems they are taking much longer than they said they would... I should've gone back home.
（１時間以内で終わるって言われたのに、もっと長いことかかりそう…家に帰ればよかった。）
余分ですが残りの部分も英語にしてみました。

参考になれば幸いです。