If I am admitted into 〇〇 university, I will give my studies there everything I've got.
If I'm admitted into (大学名)
もし貴学に入学出来たら
If I'm admitted into your universityは何となくちょっと不自然ですが、通じます。大学の名前を言っておいたら方が良いかと思います。例えば、If I'm admitted into the University of Oxfordとかを言います。
「(その大学で・そこで)一生懸命勉強するつもりだ」は直訳的にI plan to study as hard as I can thereになりますが、I will give my studies there everything I've got の方が感情入っていて、前向きでコンフィデンスの高い表現です。
ご参考になれば幸いです。