ご質問ありがとうございます。
英語にすると「犬と一緒にランニングする」というrunning with my dogになります。joggingはランニングと同じ意味です。
例文：I go running with my dog every night.（毎晩、犬とランニングする）
例文：I run with my dog in the afternoon. （昼、犬と走る）
ご参考いただければ幸いです。
My dog a runningの順番はちょっと違いますので、あまり言いません。
英語でrunning(ランニング)with my dog(犬と)という少し逆の文法になりますね。ランニングは主語みたいで、「犬と」は形容詞みたいな感じだからです。
例えば、
running while taking my dog for a walk
愛犬とランニング(散歩がてら)
基本的に散歩ですが、たまにランニングにすることについて使える表現です。
ご参考になれば幸いです。
アメリカ合衆国 
