pay by card: カードで払う
pay in cash: 現金で払う
redeem points: ポイントで払う
How would you like to pay?（お支払いはどのようにしますか？）
I'll pay by (credit) card. （カードで支払います）
I'll pay in cash.（現金で支払います）
creditはわざわざ言わないことの方が多いと思います。
ポイントで支払いたい場合は
Can I redeem my points?
と聞きます。
redeemはクーポンや商品券などを商品と変えたり、このように支払いの一部または全部をポイントで充てるときに使います。
参考になれば幸いです。
日本 
