最初の言い方は、The rumor that he was talking about was a lie. は、彼の話したうわさは嘘でした。と言う意味として使われていました。
最初の言い方では、rumor は、うわさと言う意味として使われています。talking about は、はなしたと言う意味として使われていました。
二つ目の言い方は、The rumor that he started was not true. は、彼の広めたうわさは嘘でした。と言う意味として使われています。
二つ目の言い方では、he started は、彼が広めたと言う意味として使われていました。
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The rumour (that) he told everyone was just a big lie.
The gossip (that) he was spreading was all false.
ーThe rumour (that) he told everyone was just a big lie.
「彼がみんなに話した噂はただの大嘘だ」
関係代名詞 that の後ろに主語(he)+動詞(told) が続いているので、この that は省略できます。
rumour で「噂」
a big lie で「大嘘」
ーThe gossip (that) he was spreading was all false.
「彼が言いふらしていた噂は全部嘘だった」
こちらも関係代名詞 that の後ろに主語(he)+動詞(was spreading) が続いているので、この that も省略できます。
gossip で「噂話」
spread で「(噂などを)広める」
false で「嘘の・虚偽の」
ご参考まで!