ご質問ありがとうございます。
「日記」はdiaryかjournalと言います。notebookも言えると思いますが、一応diaryとjournalの方がいいです。そして、回答の英文のthe diaryのtheの代わりに普通にmyかyourが使っています。
上記の英文は全部を全く同じように使えます。意味とニュアンスが一緒です。
例文:考えたことを日記に残しておく。
I'll write down the idea I had in my diary.
I'll leave the idea I had in my diary.
I'll leave a note of the idea I had in my diary.
ご参考いただければ幸いです。