ご質問ありがとうございます。
「日記」はdiaryかjournalと言います。notebookも言えると思いますが、一応diaryとjournalの方がいいです。そして、回答の英文のthe diaryのtheの代わりに普通にmyかyourが使っています。
上記の英文は全部を全く同じように使えます。意味とニュアンスが一緒です。
例文：考えたことを日記に残しておく。
I'll write down the idea I had in my diary.
I'll leave the idea I had in my diary.
I'll leave a note of the idea I had in my diary.
ご参考いただければ幸いです。
「日記に残す」という表現は、英語では "write it down in my journal" や "record it in my diary" のように表現されます。"journal" と "diary" の違いについても説明します。
- **"journal"**
「日記」の他に「記録帳」「雑記帳」としても使われる言葉です。日々の出来事だけでなく、考えや感情、アイデアなどをより自由に書く場合に適しています。
- **"diary"**
一般的に「日記」と訳され、日々の出来事を記録するために使われます。比較的形式がシンプルで、スケジュール帳なども指すことがあります。
アメリカ合衆国 
