テレビ番組の観覧はどうやって応募すればいいのか知っていますか。って英語でなんて言うの？

観覧する は observe
（~のために）応募する は apply for ～
テレビ番組 は TV program

（例文では、一般的に という意味で、複数のsが付いていますが、a TV programでも可。 また特定の番組の場合は、the TV program となります）

なお、この文のように、疑問詞で始まる文（how~)が、他の文の一部（Do you know~?)に組み込まれると、疑問詞以下は、普通の肯定文の順番になりますので、ご注意。

(この文では、canとI/we の順番が入れ替わります）
How can I/we ~?
↓
Do you know how I/we can~?

ご参考まで。