I'm going to go visit my dog at my parents' house.
ご質問ありがとうございます。
go to see, go see, go and see は全て使えます:
"I'm going to go to see my dog"
"I'm going to go see my dog"
"I'm going to go and see my dog"
同じく"visit"を使う場合は:
"I'm going to visit my dog."
どれも自然な言い方ですが、一般的に"visit"は動物よりも人を訪問するときに使うことが多いです。ただ、飼っている犬など親しい動物でしたら、"visit"を使うこともできます。
ご参考に!