ご質問ありがとうございます。
言うことができますよ!でも、まずは「〜したくない」はI don't want toと言います。I want not toは時代錯誤の言い方だと言えます。
「忘れずに居たい」の英語は上記の2番目の回答に現れています。
例文:感謝の気持ちを忘れずにいたい。
I want to live without forgetting the feeling of thanks.
か
I want to live without forgetting this thankful feeling.
ご参考いただければ幸いです。
I want to live without forgetting to feel gratitude.
ご質問ありがとうございます。
「感謝の気持ちを忘れずにいたい」は英語で「I want to live without forgetting to feel gratitude.」と言います。「Without forgetting to feel gratitude, I want to live.」も言えますが、この表現の方が不自然だと思います。
因みに、「その気持ちを忘れたくない」だと、「I don't want to forget the felling」となります。
ご参考になれば幸いです。