I run a baby sitter dispatch business and day care center.
ご質問ありがとうございます。
「ベビーシッターの派遣業と託児所を経営している」は英訳すれば、「I run a baby sitter dispatch business and day care center.」になります。
「run」は確かに「走る」という意味ですが、「経営する」を表します。
例文:I run a small hotel started by my dad 20 years ago.「20年前父親を開設した小さいホテル、私は現在経営しています。」
また「baby sitter dispatch business」は「ベビーシッターの派遣業」という意味です。
最後に「day care center」は「託児所」を表します。
ご参考になれば幸いです。