To move without trying to wake the person next to me
I try to move だと移動しようとすると言うような表現になります。
Try を起こさない様にと言う表現に含めたい場合は後者の without trying to
wake と表現すると良いでしょう。
簡単に so as not to wake と言うのも有です。
隣の人 はお隣さんで neighbour と言いますが
自分の隣の人であれば the person next to me とも
表現できます。
I was trying to get by the person sleeping beside me so I could go to the bathroom without waking them up.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーI was trying to get by the person sleeping beside me so I could go to the bathroom without waking them up.
「隣で寝ている人を起こさないでトイレに行けるよう、うまく通り抜けようとしました」
to get by で「うまく通り抜ける・擦り抜ける」
ご参考まで!