To move without trying to wake the person next to me
I try to move だと移動しようとすると言うような表現になります。
Try を起こさない様にと言う表現に含めたい場合は後者の without trying to
wake と表現すると良いでしょう。
簡単に so as not to wake と言うのも有です。
隣の人 はお隣さんで neighbour と言いますが
自分の隣の人であれば the person next to me とも
表現できます。