最初の言い方は、She became the person I can practice on. は、彼女が練習台になってくれましたと言う意味として使われていました。
最初の言い方では、became は、くれましたと言う意味として使われています。practice on は、練習台と言う意味として使われていました。
二つ目の言い方は、She became my practice partner. は、彼女が練習台になってくれましたと言う意味として使われています。
二つ目の言い方では、my practice partner は、練習台と言う意味として使われていました。
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美容・マッサージ・写真・メイクなどでは practice model（練習モデル）という言い方もよく使われます。
"She volunteered to be my practice model."
「彼女が練習モデルになってくれました。」
volunteer は「自分から申し出る」という意味で、「やってくれた」というニュアンスが出ます。
let me practice on her
「練習させてくれた」というニュアンスを出すなら let を使うと自然です。
"She let me practice on her."
「彼女が練習させてくれました。」
アメリカ合衆国 
