I'm looking for a new place to live because I'm changing jobs.
I need to find a new house/apartment as I will be starting a new job soon.
この場合の「引っ越し先」は次のように言うのが自然かと思います。
ーI'm looking for a new place to live because I'm changing jobs.
「転職するので、引っ越し先を探しています」
to look for で「探す」
a new place to live で「新しい住む場所」
to change jobs で「転職する」
ーI need to find a new house/apartment as I will be starting a new job soon.
「もうすぐ転職するのに伴い、引っ越し先(新しいアパート/家)を探さなければいけない」
a new house/apartment「新しいアパート/家」を使っても「引っ越し先」を表現できます。
ご参考まで!