I woke up with the morning sun shining in my face.
この場合、下のように the morning sun を主語にした方が自然な言い方になります。
ーThe morning sun woke me up this morning.
「今朝、朝日で目が覚めた」
ーI woke up with the morning sun shining in my face.
「朝日が顔に差し込んで目が覚めた」
to wake up with the morning sun を使っても言えますが、例文のように言うと自然な感じになります。
to shine in で「差し込む」
ご参考まで！
「朝日で目覚めた」という表現は「I woke up with the morning sun」が自然です。「with the morning sun」は「朝日と共に」というニュアンスで、朝日が昇る頃に目が覚めたことを意味します。
一方、"I woke up in the morning sun"でも意味は通じますが、「朝日の中で目覚めた」というニュアンスで、すでに日が昇った状態を指すことが多いです。なので、「朝日と共に起きる」感覚を伝えるなら、"with the morning sun"がより一般的です。
I woke up to the morning sun.
と言うことができます。
例文
I woke up to the morning sun.
朝日で目が覚めた。
I woke up with the morning sun.
朝日とともに目覚めた。
The morning sun woke me up.
朝日が私を目覚めさせた。
I woke up to the sunlight coming through the window.
窓から差し込む朝日で目が覚めた。
The sunlight gently woke me up.
やわらかな日差しで目が覚めた。
カナダ 
アメリカ合衆国 
