この場合の「フライング」は英語のflyingから来ますが、これは和製英語で、英語では実際こんな風には使いません。この「フライング」は「早すぎた」や「予定より早く」という意味ですので、英語でそれを表現するとtoo early（早すぎる）あるいはbefore it was supposed to（予定より早く）と表現します。
例文
The cake I ordered as a surprise for my dad's birthday came too early.
お父さんの誕生日サプライズで注文したケーキがフライングで来てしまった。（お父さんの誕生日サプライズで注文したケーキは、来るのが早すぎた。）
Make sure not to say your lines until you're supposed to.
フライングでセリフを言わないように注意して。（予定より早くセリフを言わないように注意して。）
アメリカ合衆国 
