「適当に扱っちゃだめ」をそのまま英語にするとYou can't be careless with it.と言います。これでも十分伝わりますが、ペットのような生き物より、物(割れ物や、繊細に作られているもの、あるいは刃物のような危険な物)に対して使う方が自然かもしれません。
生き物の場合、「適当に扱っちゃだめ」より「大事に扱わないといけません」の表現の方がしっくりきます。これは英語でYou have to treat it properly.(ちゃんと扱わないといけない)、あるいはYou have to care for it properly.(ちゃんと世話しないといけない)と言います。
例文
Don't be careless with that expensive vase.
あの高い壺を適当に扱わないで。
If you want a pet dog, you have to care for it properly.
犬をペットとして飼いたいなら、ちゃんと世話しないといけない。