ご質問ありがとうございます。
「ハエ」はflyと言います（複数形：flies)。「駆除」はexterminationと言います。動詞形はexterminateです。例：I will exterminate the flies。
extreminateはかなり重い単語ですので、より優しいのはget rid ofです。
例：Allow me to get rid of the flies.
ご参考になれば幸いです。
「ハエの駆除なら私にお任せを」というニュアンスを、ペットのユーモラスな四コマ漫画に合うように表現するには、
Leave the flies to me.
と表現するのがシンプルで自然です。
leave something to me は、「〜は私に任せて」という意味の決まった言い方です。
get rid of は「〜を取り除く」「〜を駆除する」という意味で、こちらもハエの駆除という状況にぴったりです。
I'll get rid of the flies.
（私がハエを駆除します。）
アメリカ合衆国 
