On the morning of New Year’s Day, I go to a shrine where the guardian god Ujigami-sama of my area is and pray.
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
『元旦の朝に地元の氏神様へお参りする』は、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
On the morning of New Year’s Day, I go to a shrine where the guardian god Ujigami-sama of my area is and pray.
として、『元旦の朝、地元の氏神様のいる神社へお参りします。』と言えます。
『氏神様』は、自分の住むエリアにある神社、または神道の神様のことを指し、その地域に住む人々を守ってくれているので、guardian 『保護者、守護者、監視者、後見人』を使用して、guardian god としています。
参考になれば幸いです。
"the local Shinto deity" or "the local patron deity"
英語での表現としては、'the local Shinto deity'が良いでしょう。「Shinto」は日本独自の宗教である神道を指し、「deity」は神様を指します。また、'patron deity'は守護神という意味で使われ、地元の人々に守られる神様を示す際に使用できます。
元旦の朝に氏神様へお参りすることは、英語で次のように言い表せます： On New Year's Day morning, we visit the local Shinto deity to pray.
日本 
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