Please give permission to my daughter to stay overnight off campus.
Would you grant my daughter the permission to spend a night off campus?
ご質問ありがとうございます。
① "Please give permission to my daughter"＝「私の娘に許可を下さい」
"to stay overnight off campus."＝「外泊することを。」
② "Would you grant my daughter the permission"＝「私の娘に許可をを与えてくれませんか」
"to spend a night off campus?"＝「キャンパス外で一泊過ごすことを？」
ご参考。
I'd like to request permission for my daughter to stay out overnight.
"I'd like to request permission for my daughter to stay out overnight." が良いでしょう。
**「request permission」は「許可を求める」という丁寧な言い方で、「stay out overnight」**は「外泊する」を意味します。
他の言い方
I would like to ask for permission for my daughter to leave campus overnight.
『娘が今夜、キャンパスを離れる許可をいただきたいのですが。』
「leave campus」は「校内を出る」という表現です。
アメリカ合衆国 
