I like that TV show where all the pastry chefs compete to make the best pastries.
ーI like that TV show where all the pastry chefs compete to make the best pastries.
「菓子職人達が一番のパティシエを競うテレビ番組が好きです」
このように to compete「競う」を使って言うのが自然かと思います。
to vie は to vie for ... のように使うのが一般的です。下の例文を参考にしてみてください。
ーHe wouldn't stop vying for her affection until she agreed to marry him.
「彼は彼女が彼と結婚することに同意するまで、彼女の愛情を求めて張り合うことをやめなかった」
to vie for one's affection で「人の愛情を求めて張り合う」
ーThe pastry chefs were all vying for the top prize in the TV show.
「そのテレビ番組で、菓子職人達はみんなトップ賞を競い合った」
to vie for the top prize で「トップ賞を競い合う」
ご参考まで！
I like TV shows where pastry chefs vie with each other in baking skills.
vie with each other（お互いに競い合う）を使って表現できます。
I like TV shows where pastry chefs vie with each other in baking skills.
『私は、パティシエたちが製菓技術を競い合うようなテレビ番組が好きです。』
pastry chefs: 「パティシエ」や洋菓子職人を指す一般的な英語です。
baking skills: 「製菓技術」を具体的に表現しています。
カナダ 
アメリカ合衆国 
