次会う時にはお互いに夢が叶っていて、私達は思い出話に花を咲かせるだろうって英語でなんて言うの？

1つにはこのように言えると思います(^_^)
The next time we meet, our dreams will have come true and we'll enjoy talking about our good old days.
は、「私たちが次に会う時には、私たちの夢は叶っていて、私たちは古き良き日々を話すのを楽しむだろう」
が直訳です。

the next time S V「次にSがVする時」
will have 過去分詞は未来完了の形で、未来のある時点から振り返った時に、その時点までには、ある行為が完了してしまっているだろう　という時に使います。
この場合は、「次に会う未来の時点までに、既に夢を叶えてしまっているだろう」の意味です。
また、
「花を咲かせる」は、enjoy talking about one's good old daysで表現すれば良いと思います。

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)

"When we meet next time, our dreams will have come true, and we'll reminisce about the past." 『次に会うときには、私たちの夢は叶っていて、思い出話をするでしょう。』

この表現では、「dreams will have come true」が「夢が叶っている状態」を示しています。

「reminisce about the past」は「過去について思い出話をする」という意味です。「reminisce」はしみじみと思い出すというニュアンスがあります。