「ワクチンを打ったところ」の正式名称はinjection site（注射の場所）と言います。よって、「ワクチンを打ったとこがかゆい」はThe injection site is itchy.となります。
例文
The injection site may turn red after a few hours.
数時間経ったら注射を受けたところが赤くなるかもしれない。
ただし、injection siteは日常会話には少し堅い言い回しなので、My arm itches where I got the injection.の表現を使えます。直訳すると「腕の注射をもらったところがかゆい」となります。また、injectionのほかにshot（注射）という言葉も使えます。
例
My arm itches where I got the injection.
My arm itches where I got the shot.
ご質問ありがとうございます。
・My arm is itchy due to the vaccine.
＝「ワクチンの影響で腕がかゆいです。」
（例文）My arm is itchy due to the vaccine. It's swollen right now.
（訳）ワクチンの影響で腕がかゆいです。今腫れています。
・itchyは「痒い」事です。
（例文）My arm itches.
（訳）私の腕は痒いです。
お役に立てれば嬉しいです。
Coco
アメリカ合衆国 
日本 
