「ワクチンを打ったところ」の正式名称はinjection site（注射の場所）と言います。よって、「ワクチンを打ったとこがかゆい」はThe injection site is itchy.となります。
例文
The injection site may turn red after a few hours.
数時間経ったら注射を受けたところが赤くなるかもしれない。
ただし、injection siteは日常会話には少し堅い言い回しなので、My arm itches where I got the injection.の表現を使えます。直訳すると「腕の注射をもらったところがかゆい」となります。また、injectionのほかにshot（注射）という言葉も使えます。
例
My arm itches where I got the injection.
My arm itches where I got the shot.
ご質問ありがとうございます。
・My arm is itchy due to the vaccine.
＝「ワクチンの影響で腕がかゆいです。」
（例文）My arm is itchy due to the vaccine. It's swollen right now.
（訳）ワクチンの影響で腕がかゆいです。今腫れています。
・itchyは「痒い」事です。
（例文）My arm itches.
（訳）私の腕は痒いです。
お役に立てれば嬉しいです。
Coco
「ワクチンを打ったとこがかゆい」を英語で表現すると、「The spot where I got the vaccine is itchy.」になります。
「The spot where I got the vaccine」は「ワクチンを打った場所」という意味です。「spot」は「場所」や「地点」を意味し、その部位を指します。
「is itchy」は「かゆい」を表現します。「itchy」は「かゆみがある」状態を示します。
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