こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
『問い合わせ管理システムの管理方法を改善したい』は、いくつか言い方が考えられますが、例えば、CRM『顧客関係管理』のようなものであれば、
I want to improve the way we manage our customer relationship management system.
として『私たちの顧客関係管理システムの管理方法を改善したいです。』と言えます。
また、カスタマーサービスなどに電話した時に『問い合わせを録音するシステム』ようなものであれば、
I want to improve the way we manage our call recording system.
『私たちの問い合わせ録音システムの管理方法を改善したいです。』とも言えますね！
メモ
Customer Relationship Management (CRM) カスタマー・リレーションシップ・マネージメント、顧客関係管理
参考になれば幸いです。
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