「カラオケ店」と「カラオケの部屋」って英語でなんて言うの？

日本での「カラオケ店」は英語で
karaoke placeやkaraoke barと言います。
barではないですが、お酒を提供する場所なので、karaoke barになっています。
ちなみに英語での「カラオケ」の発音は「ケリオキ」みたいな感じですね。

There are a lot of karaoke bars in Tokyo
There are a lot of karaoke places in Tokyo
東京にはたくさんカラオケ店がある

In one place there are a lot of karaoke rooms
1つの店に複数カラオケの部屋がある

ご参考になれば幸いです。

「カラオケ店」は英語で「karaoke place」と言います。海外は個室でカラオケを歌う文化がないので、みんなの前でステージで誰でも歌えるバーが海外のカラオケのイメージです。その店は「karaoke bar」と言います。

日本はカラオケバーじゃなくて個室でカラオケを歌うのが普通です。
In Japan, it's normal to sing karaoke in small rooms rather than at a karaoke bar.

「カラオケ店」は「Karaoke shop」や「Karaoke store」と言うことができます。

また、「カラオケの部屋」は「Karaoke room」と言います。

例えば、以下のように表現できます：

Tokyo has many karaoke shops.
「東京にはたくさんカラオケ店がある。」

Each shop has multiple karaoke rooms.
「1つの店に複数のカラオケの部屋がある。」