We got a nursing care manager for my mother, so I can relax.
ご質問ありがとうございます。
「介護」はnurseまたはnursingと言います。「ケアマネージャー」は元々英語のcare managerですので、そのまま使えます。上記の英文では「ケアマネジャーをつけてもらいました。」という意味が伝わっていますが、「ケアマネージャーを採用した」という意味も伝わる可能性があります。特に「つけてもらった」と「決まった」を伝えたかったら、下記の英文を使ってください。
例文:I nursing care manager was assigned to my mother, so I can relax.
ご参考になれば幸いです。