この場合、現在完了形を使って表現すると良いでしょう。
ーI've had a cat as long as I can remember.
「私は覚えている限りずっと猫を飼っている」
as long as I can remember で「覚えている限り」
ーI've had a cat most of my life.
「私は人生のほとんど猫を飼っている」
most of one's life で「人生のほとんど」
ご参考まで！
以下のように表現することができます。
I've lived with a cat all my life.
生まれてからずっと猫と生活してきました。
I've had a cat for as long as I can remember.
覚えている限り猫と一緒に暮らしてきました。
as long as I can remember で「覚えている限り」を英語で表現することができます。
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