economize, scrimp, retrench, draw in your horns, tighten your belt
最もよく使われて一般的なのは save money ですね!
他にも:
economize:[経済的](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/69312/)に使用する、節約する
scrimp:けちけちする、節約する
retrench:節約する([経費](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/55127/)とかに使われることが多いかな?)
draw in your horns:前より控えめになる、気をつける(お金の使い方を指すことが多い→節約する)
tighten your belt:節約する
ちなみに save money という表現自体「節約する」という意味もあり「貯金する」という意味もあります。なので I need to save money! だけで両方を表したことになりますよ。
例:
I'm trying to save money right now.
今は節約(貯金)しようとしています。