ーCan I use your back for a pillow?
「お前の背中を枕にしてもいい？」
to use one's back for a pillow で「背中を枕として使う」
ーHey man, can I have a snooze on your back?
「おい、お前の背中で寝させて？」
to have a snooze で「うたた寝をする」
この言い方は、体全体をもう片方の犬の背中に乗せている場合、頭だけの場合、または足だけの場合などいろいろな場合で使えます。
ご参考まで！
I'm gonna use your back as a pillow. Sound alright?
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば以下のような英語表現はいかがでしょうか：
Can I use your back as a pillow?
背中を枕にしてもいいかな？
Would you mind if I used your back as a pillow?
背中を枕にしてもいいかな？
I'm gonna use your back as a pillow. Sound alright?
背中を枕にするよ。いいかな？
sound alright? は Does that/it sound alright? の略で「大丈夫そう？」のようなニュアンスです。
ぜひ参考にしてください。
カナダ 
アメリカ合衆国 
