ご質問ありがとうございます。
「予約」はreservationとbookingと言います。(ちなみにbooking.comの由来は「予約」です。)「予約が埋まる」はreservations are filling upとbookings are filling upと言えます。そして、bookingは動詞(一般:book)でも使えますので、2番目の回答で現在進行形が現れています。
例文:The movie reservations are filling up, so we should decide the day soon.
ご参考になれば幸いです。