土日も関係なく仕事です。おまえはいいなあ。土日は休みだから。って英語でなんて言うの？

give up は～を諦める、という意味ですが、give up weekendsで「週末を犠牲にする」となります。
忙しくて週末を犠牲にして（働いてい）いる、ということですね。
envy someone for ～で「～であることに対し誰かをうらやむ」
つまり「あなたが週末働かなくていいことに対し、私はあなたをとても羨ましく思います」となります。
全体的にちょっと硬い文章ですが、もっとカジュアルに言うなら、

I got to work on weekends.
Oh I really wish I were you, you have no work on weekends, right?

という感じのほうが、口語的ですね。

「おまえはいいなあ」というのは You have got it good で言えます。

この訳が直訳と違いますが、伝えたいことを表現できる言葉になると思います。

「土日も関係なく仕事です」という部分の日常会話的な言い方は I have to work even though it's the weekend (週末でも働かなければならないんだ）です。

参考になれば幸いです。

この場合の土日は毎週土日のことを指してると思うので複数形で
weekends と言うことが可能です。
関係なくは regardless と言う単語が使えます。

おまえはいいなぁ で少し皮肉ぶりに good for you と言っても良いでしょう。
運がいいなぁ で lucky you と言うのも有です。

だから ですが君は土日が休みじゃないかと言う感じで
You have weekends off と言ってるので特に必要ないと思います。
だからを少し強調したい場合は for having weekends off と表現しても
良いです。