学校指定のって英語でなんて言うの？

以下のように表現することができます。

school bag
学校のバッグ

school-designated bag
学校指定のバッグ

シンプルに school bag で「学校のバッグ」を英語で表現することができます。
こちらでも通じると思いますよ。

例：
My son's school bag is broken. Can he bring his own backpack while we get it fixed?
学校のバッグが壊れてしまいました。修理の間、自分のリュックで登校してもいいですか？

お役に立てれば嬉しいです。
またいつでも質問してください。

ご質問ありがとうございます。

一般的に「学校指定の」＝「school-designated」なんですが、この場合では「school」だけで言っても大丈夫です。

なぜかと言うと、「schoolbag」は英語の言葉だからです。「school-designated bag」と言っても良いですが、ちょっと硬い表現です。

例文：

The zipper on my son's schoolbag is broken, so until it's fixed, is it okay if he uses his own bag?
「息子の学校指定のバッグのチャックが壊れたので、修理に出す間息子のバッグて登校しても良いですか？」

ご参考になれば幸いです。