I try to talk about the weather in the beginning of a lesson because I want to learn terms concerning weather.
～することにしている、という表現ですが、例文ではtry toにしました。
make it a rule to ～という熟語もありますが、ここはあくまでも生徒として先生に「そうしたいのでお願いします」と伝える場面ですので、勝手にこちらで「ルールとする」という言い方は適切ではありません。
なので、「～しようと思います」くらいにしたほうが無難です。
天気に関する表現は、terms concerning weather としました。
concerning～で「～に関する」
termは用語ですね。
terminologyという言い方もありますが、こちらはちょっと専門的なニュアンスがつくので、単なるお天気の話に使うには大げさです。
なお、先生に対して「天気用語を覚えたいので、天気の話をしてもいいですか」と、ストレートに断りを入れたい場合は、
I'd like to learn some vocabulary and phrases concerning weather. So could we talk about weather?
としたほうが、いいかもしれません。
I make it a rule to start lessons with talking about the weather because I want to master weather-related expressions.
I make it a rule to start lessons with talking about the weather because I want to learn weather-related expressions.
お天気関連の表現を学びたいので、レッスンはお天気の話で始めることにしています。
make it a rule to〜：〜を習慣にしている
こちらは、あくまで文章の訳になりますので、
初見の先生にレッスンの進め方について希望を伝えるのでしたらYumiさんのおっしゃるとおり率直に依頼した方がベターです！
Good luck!
日本 
