天気の表現をﾏｽﾀｰするため、ﾚｯｽﾝの始めに天気の話をすることにしているって英語でなんて言うの？

～することにしている、という表現ですが、例文ではtry toにしました。
make it a rule to ～という熟語もありますが、ここはあくまでも生徒として先生に「そうしたいのでお願いします」と伝える場面ですので、勝手にこちらで「ルールとする」という言い方は適切ではありません。
なので、「～しようと思います」くらいにしたほうが無難です。

天気に関する表現は、terms concerning weather としました。
concerning～で「～に関する」
termは用語ですね。
terminologyという言い方もありますが、こちらはちょっと専門的なニュアンスがつくので、単なるお天気の話に使うには大げさです。

なお、先生に対して「天気用語を覚えたいので、天気の話をしてもいいですか」と、ストレートに断りを入れたい場合は、

I'd like to learn some vocabulary and phrases concerning weather. So could we talk about weather?

としたほうが、いいかもしれません。

I make it a rule to start lessons with talking about the weather because I want to learn weather-related expressions.
お天気関連の表現を学びたいので、レッスンはお天気の話で始めることにしています。

make it a rule to〜：〜を習慣にしている

こちらは、あくまで文章の訳になりますので、
初見の先生にレッスンの進め方について希望を伝えるのでしたらYumiさんのおっしゃるとおり率直に依頼した方がベターです！

Good luck!