「本に書き込む」ことは英語で次のように表現できます。
ーto take notes in a book
ーto write in a book
例：
I always write down my thoughts in whatever book I'm reading.
「読んでいる本にいつも考えを書き込む」
ご参考まで！
こんにちは。
さまざまな言い方ができると思いますが、下記のような英語表現はいかがでしょうか：
write in a book
本に書き込む
例：
Don't forget to write your name in your book.
本に名前を書き込むのを忘れないでください。
ぜひ参考にしてください。
カナダ 
アメリカ合衆国 
