The parent and the child fought against each other in the sports tournament.
ご質問ありがとうございます。
日本語のように短い言葉ではないのですが、*parent-child match* 又は *parent-child combat* という言い方は出来ます。
*match*よりも*combat*の方がやや本格的な対決というニュアンスがあります。
文章として言う場合は:
"The parent and the child fought against each other in the sports tournament."=「親と子はスポーツトーナメントで対決した。」
ご参考までに。