・ I'm up.
「（私は）起きているよ。」
起き上がることを get up、目を覚ますことを wake up と言いますが、I'm up. という表現では up 自体が「起きている、目を覚ましている」という状態を表す言葉になります。
なので起こす側は、Are you up? で「起きてる？」と聞けます。
もう起きたよ は I already got up. といいます。
get up で「起き上がる」ですので（目が覚めるではありません）
それにalready（すでに）を付け加え、got up と過去形にします。
例2は、この場合とちょっと違うかもしれませんが、
I'm awake. は「目が覚めた（覚めている）」というような状況で使われます。
たとえば電話が来て
”Sorry for calling so early in the morning. Were you sleeping?"
（こんな朝早くに電話してごめんね。眠ってた？）
”No, I was awake, don't worry."
（大丈夫だよ、起きてたよ）
などのように使います。
日本 
