この場合、前置詞を使わずusing this part number のように言うと自然な言い方になります。
ーPlease place your order using this part number.
「この品番を使って注文してください」
part number とされていますが、part number は部品などの品番を言います。
ーUse this stock number when you place your order.
「注文される時はこの品番を使ってください」
通常の商品の品番を言うなら stock number と言うと良いでしょう。
ご参考まで！
Please use this part number when placing the order.
ご質問ありがとうございます。
まず、chieeさんの英文「Please place orders by this [part number](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/69595/).」はそのまま問題ないです。これだけで通じるはずです。
ただ、もう少し自然に言いたいなら、「Please place orders with this part number」の方が適切です。
基本的に「で」は「by や with」です。
「～ため」は「for」です。
「～として」は「as」です。
また、私的に「Please use this part number when placing the order.」の方が良いと思います。
ご参考になれば幸いです。
カナダ 
アメリカ合衆国 
