ご質問ありがとうございます。
この場合、「永遠の[家](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/52069/)」は英語で「forever home」と言います。
この文脈でも、野良猫や里親募集の犬に対して、使えます。
「彼(動物)はついに永遠の家が見つかった」は英語で「He was able to finally find his forever home.」になります。
「永遠の家が見つかって良かったね」の場合、「I'm so glad you found your forever home.」になります。
ご参考になれば幸いです。
カナダでは動物たちの「永遠の家」のことを a forever home のように言いますよ。
ーHe finally got his forever home.
「彼はついに永遠の家を見つけた」
ーI'm so glad you have a forever home.
「永遠の家が見つかって良かったね」
ーI'm so glad you have a new home and family to go to.
「新しい家と家族が見つかって良かったね」
このような言い方もできます。
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
