ご質問ありがとうございます。
おっしゃったように、「newspaper a fortnight old」と「newspaper fortnight old」と比べて、大事な違いはあります。「newspaper a fortnight old」の方が文法的です。
「newspaper a fortnight old」は「newspaper (that is) a fortnight old」と言う意味があります。
後は「a fortnight-old newspaper」を言うこともできます。この場合ではダッシュの「-」が必要です。なぜなら「fortnight-old」は二語でできている形容詞だからです。
どっちでも選んでも、「a」が必要です。
例文:
I read a fortnight-old newspaper.
I read a newspaper a fortnight old.
I read a newspaper that's a fortnight old.
私は二週間の新聞を読みました。
ご参考になれば幸いです。