この場合、次のような言い方ができます。
ーI work part-time at an arcade.
「私はゲームセンターでパートで働いています」
to work part-time で「パートで働く・アルバイトする」
ーI'm a part-time employee at a game centre.
「私はゲームセンターのパート従業員です」
a part-time employee で「パート従業員」
「ゲームセンター」は英語で arcade と言います。game centre は和製英語ですが、普通に通じます。
ご参考まで!