（2）My schedule is tight until the middle of next month.
いくつも表現が考えられますが、2例挙げてみました。
★ till/until the middle of next month
両方に使った表現ですが、middle が「真ん中」を表すので、月の中旬を表すのにも使われます。
また till と until ですが、どちらも同じ意味です。しかしながら l の数が違うので注意が必要です。スペルミスをされる方がネイティヴでもたまにいます。
（1）
I'm busy を使うのが一番簡単でいいと思いました。もちろんネイティヴがよく言う表現です。
「忙しい」と言うことによって、「あまり時間的余裕がない」という意味が伝わります。
（2）
My schedule is tight
日本語でも「タイト・スケジュール」ということがありますね。tight は「きつい、窮屈な」などを意味する形容詞で、スケジュールについていうときによく使われます。
ご参考になりましたでしょうか。
I'm going to be buried in work till the middle of next month
I'm going to be buried in workは文字通り、「仕事で埋まることになる」といった意味です。
似たような表現としてはほかに、I'm overwhelmed by my work＝「仕事に圧倒されている」「仕事にのまれている」という言い方もありますが、こちらは、抵抗すらできないような力などで無力にしたりなにもできなくさせてしまったりする、というニュアンスを含んでおり、かなり強い感じの表現です。
ところで、buried inはほかに、たとえば「～にはまる」「～に没頭する」「～に夢中になる」という意味もあります。
She was buried in thought and didn't hear my voice.
彼女は私の声さえ聞こえないくらい物思いに沈んでいていた。
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