It places nylon bristles into the handle's core and secures them with tiny metal staples.
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
The filling machine places nylon bristles into the handle's core and secures them with tiny metal staples.
とすると、『その充填機はナイロンのブラシ毛をハンドルの芯に置いて金具で留めます。』というように、穴の開いてる歯ブラシの穴にブラシの毛をおいてそれを留めるというような作業が説明できます。
また、ヘアーブラシの毛の部分をはめ込んでいくというのは、put bristles in とか、tap bristle in としてもよいかもしれないですね！
役に立ちそうな単語とフレーズ
bristles on a brush ブラシの毛
参考になれば幸いです。
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