ご質問ありがとうございます。
「[困っている](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/974/)様子」は英語で「to be embarrassed」と言います。
「困る」は確かに「to be troubled」や「to be inconvenience」と言いますが、「子供が電車で騒いでいると周りに迷惑がかかり、親は困っている様子だった」という文脈で「to be embarrassed」は適切です。
英語にすると「The children were being loud in the train which caused annoyance to other passengers. The parents were left embarrassed.」になります。
ご参考になれば幸いです。
That mother looked like she was having a hard time.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーThat mother looked like she was having a hard time.
「そのお母さんは困っている様子だった」
例：
That mother looked like she was having a hard time because her son was making such a nuisance of himself in front of all the other passengers on the train.
「息子が電車の乗客の前で迷惑をかけていて、そのお母さんは困っている様子だった」
to make a nuisance で「迷惑をかける」
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
