This friend of mine also wants to get together on that day, so can I invite him/her too?
（文の最初にThisを使う理由については後程。）
今回は原文がとても日本語的な言い回しなので、
直訳しようとすると「他の」や「別の」友達、という部分を強調してしまい、英語的にはやや不自然な感じがします。
「私はあなたの他にBさんから誘われている」、と一気に3人も話の背景に食い込んでくるので回りくどさがあります。
日本語臭を排除し、ストレートに表現するために、「Bさんも会いたがっている」の方を提案させていただきました。
あと、あくまでも私のイメージですが、
実際の内容からすると、スポットライトを当てたい部分は「また他の」や「また別の」ではなく、誘いたい「友達」ですよね。
今回つかったThis○○は、普段使うThis（＝この）の意味ではなく、
急に話に登場する人や物にスポットライトを当てる役割をする便利な飾り言葉です。
There was this dog at the station, and he was soooo cute!
→駅に犬がいたんだけど、超かわいかった！
this dogは、「この犬」ではなく、「犬」です。
この文でスポットライトを浴びる「犬」です。
誰の犬、というわけではなく、「とある犬」です。
the dogと特定した言い方をしてしまうと「え？theって、どの犬のこと？犬の話、してたっけ？」のような反応をされてしまいます。
a dogにすると、意味はOKですが、ニュアンス的なスポットライトが当たらないので、無難過ぎます。
this dogにすると、いきなり話に登場した「とある犬」の分際にして立派に「話の主役」になるのです。
もちろん、ご質問にあるようにanother friend でも one of my other friendsでも間違いではありません。
しかし、英語学習者によくありすぎるミスには気を付けてくださいね。
One of ～に続く名詞は複数形にしましょう。
正）One of my classes was canceled today.
誤）One of my class was canceled today.
「（いくつもある）クラス（複数形）の中の一つが休講になった。」
classesのあとにwasが来るのがキモチワルイかもしれませんが、
このwasは最初のOneについているwasなので複数形のあとについていても大丈夫なのです。
That day, another friend of mine invited me to something else. Can I invite her/him too?
One of my other friends asked me to go out together that day. Can I ask her/him to come with us?
おっしゃる通りで、"another friend" でもいいですし、"One of my other friends" でも大丈夫です。一つ目は、"another friend"を使いました。その場合は、「私のもう一人の友達」を使わないといけないので、"another friend of mine"といいます。
両者とも、「なにか他に一緒にするつもりだったんだよね」というフレーズを使っています。
アメリカ合衆国 
日本 
