ご質問ありがとうございます。
「当事者間で交換してください」は英語で「please discuss with the other party」と言います。
また、文脈で「(会議)[不都合](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/69854/)がある場合には、当事者同士で話し合って発表日を交換してください」と言いたいなら、そうすると、「If there is any inconvenience with the meeting dates, please discuss with the other party to figure out a date that works for everyone better.」という風に言えます。
ご参考になれば幸いです。
Please arrange an exchange between the parties involved.
Please swap your dates with each other.
「当事者間」は英語で the parties involved と表現するのが正確ですが、メールで直接本人たちに伝える場合は between yourselves（あなたたちの間で）や with each other（お互いに）を使うと、より自然で分かりやすい表現になります。
・Please arrange an exchange between the parties involved if you have any conflicts.
（不都合がある場合は、当事者間で調整・交換を行ってください。）
アメリカ合衆国 
