疲れていたので、すぐに寝てしまったって英語でなんて言うの？

この場合、次のような言い方ができますよ。

ーI was really tired so I fell asleep right away.
「すごく疲れていたので、すぐに寝てしまった」
to fall asleep right away で「すぐに寝入る・寝落ちする」と言えます。

ーI was pretty wiped out so I crashed as soon as my head hit the pillow.
「すごく疲れていたので、すぐに寝てしまった」
to crash as soon as one's head hit the pillow は直訳すると「頭が枕についた途端に寝る」となりあっという間に寝るニュアンスです。

ご参考まで！