Please report again if there is progress on this matter.
「この件で進捗があったら、改めてレポートして下さい。」= Please report again if there is progress on this matter.
「この件」＝ this matter
「進捗」＝ progress
「〜があったら」＝ if there is...
「改めて」＝ again
「レポートして下さい」＝ please report
になります。
同様に、get back to me も「連絡してください」を意味します。
「この件について新たな情報があれば、私に連絡してください」を、If there's new information on this matter, get back to me.と翻訳することも可能です。
ご参考までに。
① If there is progress on this inquiry, please let me know
「レポートしてください」のレポートですが、こちらは報告に該当するようでしたら：
「① If there is progress on this inquiry, please let me know」
まだ、報告ではなく、レポートファイルみたいなのに反映させてもらいたいなら：
「If there is progress on this inquiry, be sure to note it in the file」
ジュリアン
アメリカ合衆国 
イギリス 
