そのサウナは男湯と女湯が偶数日と奇数日で入れ替わるって英語でなんて言うの？

この場合、次のような言い方ができますよ。 ーThe men's side and women's side of the sauna switches back and forth depending on whether it's an odd or even day of the month. 「サウナの男性側と女性側は奇数日と偶数日かによって入れ替わる」 to switch back and forth で「入れ替わる・切り替わる」などと言えます。 an odd day (of the month) で「奇数日」 an even day (of the month) で「偶数日」 ご参考まで！

・switch / rotate「入れ替わる、交代する」 　場所や役割が交互に入れ替わることを表します。rotate は「順番に回る」というニュアンスが強く、定期的な入れ替えによく使われます。 ・even days / odd days「偶数日 / 奇数日」 　偶数が even、奇数が odd です。