〇〇's fur is starting to separate here and there because he's getting older.
うちもペットをずっと飼っていますが、英語に「毛割れ」という決まった言い方はないように思います。
この場合、次のように言えると思います。
ー〇〇 has started to get lines in his/her fur.
「〇〇ちゃんは毛割れしてきた」
to get lines in one's fur で「毛割れする」
ー〇〇's fur is starting to separate here and there because he's getting older.
「〇〇の毛が歳をとってきて割れてきた」
one's fur is starting to separate here and there で「〇〇の毛があちこち割れてきた」
ご参考まで!